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在△ABC中，∠BAC=a，AB=AC，CD⊥AB于点D，过点B作BM//AC，P是线段DB上一点，连接CP，作∠CAQ=∠APC，交射线BM于点O.
(1） 如图1，当∠CAQ=2a（36°<a<60°）时，求∠BCP的度数（用含a的式子表示)：
(2） 如图2，点E为AP中点，等式表示DE与BQ的数量关系，并证明.
(1)解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB. ∵∠BAC=a, 2 ∵∠CAQ=∠APC，∠CAQ=2a， ∴∠BCP=∠APC-∠ABC=5 -90°. ….分 2
(2) BQ与DE的数量关系为：BQ=2DE.
证明：如图，在AD上取点N，使得DN=DP，连接CN.∵CDLAB,∴CP=CN.∴∠CNP=∠APC.∵∠CAQ=∠APC,∴∠CNP=∠CAO.∵ACBM,∴∠CAB=∠ABM，∠AQM=∠CAQ.∴∠AQB=∠CNA.∵AB=AC,∴△CNA≌△AQB.∴AN=BQ.∵E是AP的中点，∴ AP=2PE.∵ PN=2PD,∴AN=AP-PN=2PE-2PD=2DE.∴ BQ=2DE.
在ΔABC中，∠ABC=90°，∠BAC=α.D为BC的延长线上一点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转180°-2a得到线段AE，连接CE.
(1）如图1，a=30°，点E在直线BC上，求证：CE=2CD；
(2）如图2，用等式表示线段AB，CD和CE的数量关系，并证明.
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，∠ACD=90°，将线段AD绕点Λ顺时针旋转α得到线段AE，连接DE交BC于点F.
(1)根据题意补全图形，并证明∠BAE=∠CAD；
(2)过点D作直线BC的垂线，垂足为C，用等式表示线段BC，FC之间的数量关系，并证明.
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC，D为AC的中点，过点D作DE⊥AC，交BC于点E，点F在线段DE上，且DF=AC，连接AF.
(1）求证：AF平分∠BAC；
(2)连接BF，将射线FB绕点F顺时针旋转90°，交CA的延长线于点G.
①依题意补全图形；
②用等式表示EF，AF与CG之间的数量关系，并证明.
（1）等式表∠DAE与∠CAB的数量关系，并证明；
（2）作线段EF的垂直平分线，垂为G，交AB于点P，交AC于点Q，依题意补全图形.等式表线段PQ与DF的数量关系，并证明.
解:(1)由题意，补全图形如图，
(2):∵正方形ABCD,
∵旋转，
…3分 2
(3) BE=√2AN,
…4分
证明如下：
连接DN，作AHAN，交NB的延长线于点H,则:∠HAN=90°
∴CM垂直平分DE,
∵正形ABCD,
又∵∠BAH=∠NAD=90°-∠BAN,AB=AD,
∴△AHN为等腰直三角形，BH=EN，
已知，如图△ABC，∠B=α，点E是AB上的点，连接CE，点B关于直线CE的对称点为点F，连接CF，EF，将射线CF绕点C逆时针旋转180°-α得到CG，在射线CG上取一点P，使∠CPF=∠CAB，延长PC交AB于点D.
(1)求证：∠DCE=∠DEC;
(2)连接DF，若∠DFE=2∠B，用等式表示CP，AD，DF三者之间的数量关系，并证明.
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为线段AB上一点，连接CD，∠BCD=α(0°<α<45°),将线段DC绕点D逆时针旋转90°得到DE,连接BE,AE,点F是BE中点，连接DF.
(1)连接CE,求∠ACE的度数（用含α的式子表示)；
(2)等式表示DF与AE的数量关系，并证明.
∵线段DC绕点D逆时针旋转90°得到DE, ∴∠CDE=90°，CD=ED.
∴ ∠ECD=∠CED=45°
∵∠BCD=a，∠ACB=90°
∴∠ACE=90°-45°-a=45°-a…..2分 (2) DF= =AE.
延长ED到H，使得DH=ED，连接CH,BH ∴D为EH中点.
∵∠CDE=90°
∴CD垂直平分EH.
∴CE=CH，CD平分∠ECH..
又∵CD=ED
∴∠ECD=CED=45°
∴∠ECH=90°
又∵∠DCH=45°
∴∠BCH=45°-∠BCD=45°-a
∴∠ACE=∠BCH.. ..5分 在△ACE与△BCH中
Ac=cB
∠ACE=∠BCH
CE= CH
∴△ACE≌ △BCH
∴ AE=BH.. ..6分 ∵F是EB中点，D是EH中点，
∴DF是△EBH 中位线
∴ DF ==BH ==AE.
由旋转得，AD=AE,∠EAD=80°
ABD
△ACE
(2) MF = √ CM ...
连接EC,DF，….
∵AB=AC，∠BAC=α=90°, ∴∠ACB==∠ABC=45° 由旋转得，AD=AE,∠EAD=90° ∴∠EAC=∠BAD ∴△ABD≈△ACE, ∴∠ACE=∠ABC=45°,EC=BD ∴∠ECD=90° ∵点M是DE的中点， ∴CM=DM==DE ∵DG⊥BC ∴∠BDG=90° ∴∠ACB=∠CGD=45° ∴.CD=DG ∵∠ECD=∠BDG=90° ∴△ECD≤△ BDG ∴DE=BG,∠CED=∠DBG ∵点F是BG的中点 ∴DF=BF==BG ∴∠FDB=∠DBG,DM=DF ∵∠ECD=90° ∴∠CED+∠EDC=90° ∴∠FDB+∠EDC=90° 即∠MDF=90°∴△MDF是等腰直角三角形. 即∠MDF=90°∴△MDF是等腰直角三 ∴MF=√2DM=√2cM, 即MF=√2cM.
（1）如图1，α=∠BAC=80°，求∠DCE的度数；
（2）如图2，α=∠BAC=90°，BD<CD，过点D作DGBC，DG交CA的延长线于G，连接BG.点M是DE的中点，点F是BG的中点，连接FM，CM.等式表示线段FM与CM的数量关系并证明；
解:(1)由题意，补全图形如图，
(2):∵正方形ABCD,
∵旋转，
…3分 2
(3) BE=√2AN,
…4分
证明如下：
连接DN，作AHAN，交NB的延长线于点H,则:∠HAN=90°
∴CM垂直平分DE,
∵正形ABCD,
又∵∠BAH=∠NAD=90°-∠BAN,AB=AD,
∴△AHN为等腰直三角形，BH=EN，
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是△ABC内部一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转120°，得到线段AE，连接BD，CE.
(1)求证：BD=CE;
(2).连接DE，分别取线段BC，DE的中点F，G，连接FG，用等式表示线段FG与CE的数量关系，并证明.
（1）证明：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD. ∴∠BAD=∠CAE. ∵AB=AC，AD=AE, ∴△ABD≥△ACE. ∴EC=BD.
(2）EC和FG的数量关系为：EC=2FG.
证明：连接DF延长至点P，使得PF=DF，连接PE，
∵F为DP中点，
∴BF=CF.
∵∠BFD =∠CFP,
B ∴△ABD≈△ACE.
∴BD=CP，∠DBF=∠PCF.
∵ΔBAD≈ΔCAP,
∴∠ACE=∠ABD.
∴∠ACE+∠CFP=∠ABD+∠FBD=30° ∴∠PCE=∠ACB+30°=60°.
∵CE=BD，BD=CP,
∴CE=CP.
∵ΔPCE是等边三角形，
∴PE=CE.
∵F，G分别是DP，DE的中点，
∴PE=2FG.
∴CE=2FG.
已知线段AB，将线段AB绕点A逆时针旋转180°-2a得到线段AD，将线段BA所在的射线绕点B顺时针旋转180°α得到射线BP，其中0°a<45°.在射线BP上取一点C，连结AC，作∠BDG=∠BCA交线段AB于点G.
(1)如图1，当BC=AB时，求证：DG平分∠ADB；
(2)如图2，当BC<AB时，如图，在BD上取一点F，使DF=BC，连结AF交DG于点M.用等式表示线段MD和AC之间的数量关系，并证明.
如图，将正形ABCD的边CD绕点C顺时针向旋转α(0°<α<90°）得到线段CE，连接BE，DE，作CM⊥DE于点M，交BE于点N，连接AN.
(1）依题意补全图形；
(2)求∠BED的度数；
(3）等式表示BE，AN的数量关系，并证明.
在△ABC中，AB=AC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，点E与点A分别在直线BC的两侧，连接CE，且CE=2AD，连接EA，作点E关于点A的对称点F，连接AF，FB.
(1）如图27-1，∠BAC=120°，点E在AD的延长线上.
①依题意补全图形；
②求证：AF=AB;
（2）如图27-2，点E不在AD的延长线上，用等式表示∠BCE与∠CBF的数量关系，并证明.
(1)①
②证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，∠CAD==∠BAC.
∴△ACE是等边三角形. …2分
∵点E与点F关于点A对称，
∴AF=AB. ……3分
(2) ∠BCE=2∠CBF-90° …4分
明：延长BA到H，使AH=AB，连接EH交BC于点M，连接CH∵EA=AF,∠BAF=∠HAE，∴△BAF≌△HAE.∴∠F=∠HEA.∴BFIEH. …5分∴∠CBF=∠CMH.设∠CBF=∠CMH=α∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC,∠ADB=90°.∴AD∥HC,CH=2AD,∴∠BCH=∠ADB=90°∴∠CHE=90°-α∵CE=2AD,∴CE=CH. …6分∴∠CEH=∠CHE=90°-α.∴∠BCE=180°-∠CEH-∠CHE-∠BCH=2a-90°即∠BCE=2∠CBF-90° 7分